Absolute Änderungsrate – Die absolute Abnahme eines Bestands heißt absolute Änderungsrate $\Delta B(t)$, Herleitung Die konkrete Änderung eines Bestands berechnet sich zu $\Delta B(t) = B(t+1) – B(t)$, $$ \begin \Delta B(t) &= B(t+1) – B(t) && |\, B(t+1) = B(t) \cdot q \text } \\ &= B(t) \cdot q – B(t) && |\, B(t) \text } \\ &= B(t) \cdot (q-1) \end $$
Was ist eine exponentielle Abnahme?
Exponentielle Abnahme – Exponentieller Zerfall einer zerfallenden Stoffmenge eines radioaktiven Nuklids mit Halbwertszeit Ist die Abnahme einer Größe proportional zum jeweiligen Wert der Größe selbst, so spricht man von exponentiellem Zerfall, exponentiellem Abfall oder exponentieller Abnahme,
Was nimmt exponentiell ab Beispiel?
Beispiele exponentieller Zerfallsprozesse Beispiele exponentieller Zerfallsprozesse :
| Zerfallsprozess | Mathematisches Modell |
| Licht, das in eine dicke Schicht aus Glas eintritt, wird in exponentieller Weise abgeschwächt. (Dieser Prozess heißt Absorption ). In einem konkreten Fall nehme die Intensität des Lichts pro (im Glas) zurückgelegtem Zentimeter um 5% ab. Um welchen Faktor wird die Intensität des Lichts durch eine 7 cm dicke Glasscheibe abgeschwächt? | Nach einem Zentimeter ist die Intensität um den Faktor 1 – 0.05 = 0.95 gesunken. Bei einer Eindringtiefe x (in Zentimetern gemessen) beträgt sie I = I 0 × 0.95 x, wobei I 0 die Intensität des einfallenden Lichts ist. (Für sie wurde kein Wert angegeben, daher bezeichnen wir sie mit einem Symbol). Einsetzen von x = 7 ergibt I 0 × 0.6983., d.h. die Intensität wird durch die Glasscheibe (ungefähr) um den Faktor 0.698 (d.h. auf 69.8% ihres ursprünglichen Werts) abgeschwächt. Falls Sie unseren Wachtums-Rechner benutzen, um dieses Ergebnis nachzuvollziehen, geben Sie in das erste Textfeld einfach 1 ein! |
| Die Population einer vom Aussterben bedrohten Spezies besitzt noch 600 Individuen und sinkt (exponentiell und unabhängig vom Rhythmus der Jahreszeiten) jedes Jahr auf ein Drittel. Wie groß wird sie in zweieinhalb Jahren sein? | Nach t Jahren besitzt die Population 600 × (1/3) t = 600 × 3 – t Individuen. Einsetzen von t = 2.5 (in einen der beiden Ausdrücke) ergibt 38.49., d.h es werden noch (ungefähr) 38 Individuen übrig sein. |
| Die Population einer vom Aussterben bedrohten Spezies (deren Fortpflanzung nicht vom Rhythmus der Jahreszeiten abhängt) besitzt noch 600 Individuen und sinkt (exponentiell) jedes Jahr um ein Drittel. Wie groß wird sie in zweieinhalb Jahren sein? | Um 1/3 zu sinken ist dasselbe wie auf 2/3 zu sinken. Nach t Jahren besitzt die Population daher 600 × (2/3) t Individuen, (was auch als 600 × (3/2) – t geschrieben werden kann). Einsetzen von t = 2.5 ergibt 217.73., d.h es werden noch (ungefähr) 218 Individuen übrig sein. |
| Radioaktive Altersbestimmung durch die Radiukarbonmethode : Das Kohlenstoffisotop C 14 zerfällt mit einer Halbwertszeit von 5730 Jahren. Während zu Lebzeiten eines Organismus das zerfallene C 14 durch die Atmosphäre “nachgeliefert” wird, beginnt danach die exponentielle Abnahme dieses Isotops, d.h. der C 14 -(Atom)Kerne. Nun seien im Ast eines Baumes zu Lebzeiten 10 Milliarden (10 10 ) C 14 -Kerne vorhanden. Der Ast fällt in einen Sumpf und wird unter Luftabschluss viele Jahrtausende konserviert, während der der C 14 -Gehalt langsam abnimmt. Wie viele C 14 -Kerne sind noch vorhanden, wenn der Ast zu einer gegebenen Zeit später von Archäologen gefunden wird? | Wir messen die Zeit zunächst in Intervallen von 5730 Jahren. Nach Ablauf von x solcher Zeitintervalle sind noch 10 10 × 2 – x C 14 -Kerne vorhanden. Natürlich ist es bequemer, die Zeit in Jahren zu messen. Nach Ablauf von x unserer 5730-Jahr-Intervalle sind t = 5730 x Jahre vergangen, und daher sind nach t Jahren noch 10 10 × 2 – t / 5730 C 14 -Kerne übrig. Daraus lernen wir überdies: Wird zur Beschreibung eines Zerfallsprozesses die Basis 2 verwendet, so können wir die Halbwertszeit als jene Konstante ablesen, durch die die Zeitvariable t im Exponenten dividiert wird. |
| Der allgemeine exponentielle Zerfallsprozess: Eine Größe n habe zu Beginn den Wert n 0 und nehme exponentiell ab. Nach der Zeit s sei sie um den Faktor q (< 1) gesunken. Wir können auch sagen, in dieser Zeit ist sie auf ein p -tel ihres Werts gesunken, wobei p = 1/ q (> 1) ist. Wie groß ist sie zu einer gegebenen Zeit t ? (Hierbei handelt es sich von der Struktur her um genau dieselbe Angabe wie beim vorigen Beispiel, nur haben wir uns auf keine konkreten Zahlen festgelegt). | Nach Ablauf von x Zeitintervallen der Dauer s hat n den Wert n 0 q x, Während dieser x Zeitintervalle ist die Zeit t = s x vergangen. Daher hat n zur Zeit t den Wert n 0 q t / s = n 0 p – t / s, Beide Varianten sich gleich gut geeignet, den Prozess zu beschreiben. Wir können das auch als n ( t ) = n 0 q t / s = n 0 p – t / s schreiben, was eine Exponentialfunktion vom Typ (3) darstellt. Sie kann (wahlweise) entweder
mit Basis < 1 und positivem Exponenten (erste Version) oder mit Basis > 1 und negativem Exponenten (zweite Version) dargestellt werden. |
Beispiele exponentieller Zerfallsprozesse
Wann nimmt etwas exponentiell ab?
Radioaktiver Zerfall – Radioaktive Präparate werden auch in der Medizin eingesetzt. Ihr Bestand nimmt ebenfalls ab. Bei radioaktiven Präparaten benutzt du oft die Halbwertszeit, Das ist die Zeitspanne, nach der das Präparat die Hälfte des Ursprungswerts angenommen hat. Bei exponentieller Abnahme ist die Zeitspanne immer gleich, wenn sich die Menge des Materials halbiert.
| Zeit in Tagen | 1 | 2 | 3 | 4 | |
|---|---|---|---|---|---|
| Zerfälle pro Sekunde | 100 | 71 | 50 | 35 | 25 |
Hier ist die Halbwertzeit 2 Tage. kapiert.de kann mehr:
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Was ist der Abnahmefaktor?
Der Abnahmefaktor gibt an, auf wie viel Prozent eine Größe gesunken ist.
Was ist der Unterschied zwischen linear und exponentiell?
Während lineares Wachstum durch eine konstante Änderungsrate charakterisiert wurde, ist die Änderungsrate bei exponentiellem Wachstum direkt proportional zur Population. In Worten bedeutet das: Je mehr vorhanden ist, umso mehr kommt im nächsten Zeitschritt hinzu.
Was ist das Gegenteil von exponentiell?
Die exponentielle Abnahme ist praktisch das Gegenteil des exponentiellen Wachstums.
Was ist eine lineare Abnahme?
Lineare Abnahme – Bei der linearen Abnahme sinkt der Wert konstant. Als Beispiel könnte man das gleichmäßige Abfließen von Wasser aus einer Badewanne nennen. Die Änderungsrate bei der linearen Abnahme muss negativ sein. Von dem Anfangswert $N_0$ wird dann $t$-mal der Wert von $a$ abgezogen. Schauen wir uns ein Beispiel an:
Wie berechnet man den Abnahmefaktor?
Darstellungsformen – Statt $f(x)$ schreibt man im Zusammenhang mit Abnahme häufig $B(t)$ : Im Folgenden lernen wir zwei Möglichkeiten kennen, den Bestand $B$ zu berechnen. Wiederholung: Abnahmefaktor Für den Abnahmefaktor $q$ gilt: $q = 1 – \frac $, Beispiel 2 Eine Abnahme um 16 % entspricht einer Abnahme auf 84 %.
Wie berechnet man e hoch?
E-Funktionen leicht erklärt – Die e-Funktion, auch natürliche Exponentialfunktion genannt, hat die Gleichung: $f(x) = e